算法介绍之幻方阵

幻方阵
　　幻方是什么呢？如右图就是一个幻方，即将n*n（n>=3）个数字放入n*n的方格内，使方格的各行、各列及对角线上各数字之各相等。

　　我很早就对此非常感兴趣，也有所收获。

　　8 1 6

　　3 5 7

　　4 9 2

　　

　　本数学模型于1999年9月26日构造。

　　奇阶幻方

　　当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。

　　偶阶幻方

　　当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。

　　在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：

　　Merzirac法生成奇阶幻方

　　在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方：

　　17 24 1 8 15

　　23 5 7 14 16

　　4 6 13 20 22

　　10 12 19 21 3

　　11 18 25 2 9

　　

　　loubere法生成奇阶幻方

　　在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。如下图用Louberel法生成的7阶幻方：

　　30 39 48 1 10 19 28

　　38 47 7 9 18 27 29

　　46 6 8 17 26 35 37

　　5 14 16 25 34 36 45

　　13 15 24 33 42 44 4

　　21 23 32 41 43 3 12

　　22 31 40 49 2 11 20

　　

　　horse法生成奇阶幻方

　　先在任意一格内放入1。向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。如下图用Horse法生成的5阶幻方：

　　77 58 39 20 1 72 53 34 15

　　6 68 49 30 11 73 63 44 25

　　16 78 59 40 21 2 64 54 35

　　26 7 69 50 31 12 74 55 45

　　36 17 79 60 41 22 3 65 46

　　37 27 8 70 51 32 13 75 56

　　47 28 18 80 61 42 23 4 66

　　57 38 19 9 71 52 33 14 76

　　67 48 29 10 81 62 43 24 5

　　

　　一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。上面的的是X型跳步。Horse法生成的幻方为魔鬼幻方。

　　Hire法生成偶阶幻方

　　将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。在Ａ内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。填写方法为:第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写(第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法：

　　1 5 4 3 2 6

　　6 2 3 4 5 1

　　1 2 3 4 5 6

　　6 5 3 4 2 1

　　6 2 4 3 5 1

　　1 5 4 3 2 6

　　

　　如下所示为8阶填写方法（转置以后）：

　　1 8 1 1 8 8 8 1

　　7 2 2 2 7 7 2 7

　　6 3 3 3 6 3 6 6

　　5 4 4 4 4 5 5 5

　　4 5 5 5 5 4 4 4

　　3 6 6 6 3 6 3 3

　　2 7 7 7 2 2 7 2

　　8 1 8 8 1 1 1 8

　　

　　将Ａ上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j)－1）。则AT＋Ｂ为目标幻方

　　（AT为Ａ的转置矩阵）。如下图用Hire法生成的8阶幻方：

　　1 63 6 5 60 59 58 8

　　56 10 11 12 53 54 15 49

　　41 18 19 20 45 22 47 48

　　33 26 27 28 29 38 39 40

　　32 39 38 36 37 27 26 25

　　24 47 43 45 20 46 18 17

　　16 50 54 53 12 11 55 9

　　57 7 62 61 4 3 2 64

　　

　　Strachey法生成单偶幻方

　　将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。

　　A C

　　D B

　　Ａ用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在Ａ中间一行取m个小格，其中1格为该行居中1小格,另外m-1个小格任意,其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；Ｂ与Ｃ接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：

　　35 1 6 26 19 24

　　3 32 7 21 23 25

　　31 9 2 22 27 20

　　8 28 33 17 10 15

　　30 5 34 12 14 16

　　4 36 29 13 18 11

　　

　　Spring法生成以偶幻方

　　将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。

　　先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后进行对角交换。对角交换有两种方法：

　　方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）

　　方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。

　　如下图用Spring法生成的4阶幻方：

　　16 2 3 13

　　5 11 10 8

　　9 7 6 12

　　4 14 15 1

　　

　　YinMagic构造偶阶幻方

　　先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用本方法将边缘数字填写完毕。本方法适用于n>4的所有幻方，我于2002年12月31日构造的数学模型。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：

　　10 1 34 33 5 28

　　29 23 22 11 18 8

　　30 12 17 24 21 7

　　2 26 19 14 15 35

　　31 13 16 25 20 6

　　9 36 3 4 32 27

　　

　　魔鬼幻方

　　如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。

　　用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。

　　15 10 3 6

　　4 5 16 9

　　14 11 2 7

　　1 8 13 12

　　罗伯法：

　　1居上行正中央，依次排开右上方。

　　右出格时写最左，上出格时写最下.

　　每逢几个落一行.（几个是几*几的方阵中的几）

看起来很复杂，顶一个先，再好好研究研究{:13_780:}

好好学习一下，呵呵！！！！！